Klapitalkoot

Sekalaiset aiheet.

Valvoja: Hallitus

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Vahvasti ilmastoon väitetään täällä Härmälässä liittyvän puunpolton. Niinpä itsekin tänään klapisirkkelillä töitä tein. Pitkät rangat siinä vähän keikahtelivat sirkkelin penkillä. Tästäpä tuli mieleen foorumilaisten aivonystyröitä kiihottava laskutehtävä.

Tarkoitus on tehdä 30 cm:n pituisia (miinus teränleveys) klapeja niin monta kuin rangasta riittää, jonka tyven paksuus on 15 cm. Sirkkelin penkki on metrin mittainen sirkkelin terän lähimmästä laidasta mitattuna. Ranka ohenee tyvestä latvaan päin 1 cm/m. Kuinka pitkän rangan voi sirkkelillä sahata niin, että se ei keikahda latva alaspäin siitä mitenkään kiinni pitämättä tai muutenkaan tukematta, kun sitä tyvi edellä sahataan? Puun oletetaan olevan tiheydeltään vakion ja ohenemisen tasaisen.

Hauskaa ongelman ratkaisuviikkoa! :D

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Onko vanhemmalla väellä integraalilaskenta päässyt passivoitumaan, vai eikö aivojumppa kiinnosta? Nuoremman väen matikkaosaaminen onkin usein niin ja näin ainakin ,jos uskon erästä entistä AMK:n matikanopettajaa, joka joutui vaihtamaan työpaikkaa, kun ei kestänyt sitä, että insinöörioppilaat eivät osanneet edes perusmatematiikkaa, korkeammasta puhumattakaan.

Tuossa tehtävässä on yksi pieni kompa, huomaatteko mikä se on?

Tronic
Viestit: 342
Liittynyt: 15.08.2010, 16:38:00

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tronic »

Merk. x := etäisyys tyvestä ja kirjoitetaan tasapainolle momenttiyhtälö int(F(x) * x)dx = 0:
int{0,x} (pituusmassa(x) * g * varsi(x)) dx = 0

Jaetaan pois vakiotermi rho * g; merk. x0 := tukipisteen sijainti:
int{0,x} (paksuus(x)^2 * (x-x0) dx = 0

Sijoitetaan lukuarvot ja lasketaan:
int{0,x} (15 cm - 1 cm/m * x)^2*(x-1 m) dx = 0
x ~= 2.10578 m.

Missä kompa?

EDIT: Selvempi esitys laskutoimituksista.
Viimeksi muokannut Tronic, 19.10.2012, 00:46:20. Yhteensä muokattu 2 kertaa.

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Tronic kirjoitti:int{0,x} (15 cm - 1 cm/m * x)^2*(x-1 m) dx = 0
1/4 x^4 - 31/3 x^3 + 255/2 x^2 - 225x = 0
x ~= 2.10578 m.

Missä kompa?


Vastaamatta vielä kysymykseesi, voin todeta, että vastaus on väärin. Et kai laittanut rankaa sirkkeliin latva edellä? :)

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Vielä tarkennus.

Kun 1m:n sirkkelipenkille laitetaan ranka tyvi edellä, tyvipään pituus "kiikkulaudan" keskipisteeseen on 1,3 m. Vastauksesi on siis mitä ilmeisimmin alakanttiin.

Harry
Viestit: 609
Liittynyt: 02.10.2010, 18:44:02

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Harry »

Vaikkei integraalit enää ole hallinnassa tämä on silti mielenkiintoinen ongelma. Voisit vähän tarkentaa vielä. Onko sirkkelipenkki "kiikkulautasi" ja saako ranka pudota sahauksen jälkeen? Arvioin että metrin pöydällä, ranka sahattuna saa olla korkeintaan 207,9sm pitkä. Eri juttu jos lasketaan ennen sahausta.

ppo
Viestit: 20
Liittynyt: 22.02.2009, 12:48:51

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja ppo »

Tapsa kirjoitti:Vahvasti ilmastoon väitetään täällä Härmälässä liittyvän puunpolton. Niinpä itsekin tänään klapisirkkelillä töitä tein. Pitkät rangat siinä vähän keikahtelivat sirkkelin penkillä. Tästäpä tuli mieleen foorumilaisten aivonystyröitä kiihottava laskutehtävä.

Tarkoitus on tehdä 30 cm:n pituisia (miinus teränleveys) klapeja niin monta kuin rangasta riittää, jonka tyven paksuus on 15 cm. Sirkkelin penkki on metrin mittainen sirkkelin terän lähimmästä laidasta mitattuna. Ranka ohenee tyvestä latvaan päin 1 cm/m. Kuinka pitkän rangan voi sirkkelillä sahata niin, että se ei keikahda latva alaspäin siitä mitenkään kiinni pitämättä tai muutenkaan tukematta, kun sitä tyvi edellä sahataan? Puun oletetaan olevan tiheydeltään vakion ja ohenemisen tasaisen.

Hauskaa ongelman ratkaisuviikkoa! :D

Kartion painopisteen etäisyys kartion pohjasta on 1/4 kartion korkeudesta joten pisin ranka, joka ei keikahda on pituudeltaan 4*(1m+30cm)= 5,2 m. Menikö oikein :?:

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

ppo kirjoitti:Kartion painopisteen etäisyys kartion pohjasta on 1/4 kartion korkeudesta joten pisin ranka, joka ei keikahda on pituudeltaan 4m+ 30 cm =4,3 m. Menikö oikein :?:


No ei sinne päinkään. Kyseessä ei suinkaan ole kartio, vaan katkaistu kartio, lähes lieriö. Kyllä ratkaisussa ihan integroimaan joutuu. Vastauksestasi päätellen huomasit kuitenkin sen pienen kompan, mikä tehtävässä oli. :D

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Huonosti luettu, et huomannutkaan sitä kompaa, jos sitä sillä nimellä voi sanoa. :(

ppo
Viestit: 20
Liittynyt: 22.02.2009, 12:48:51

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja ppo »

Tapsa kirjoitti:
ppo kirjoitti:Kartion painopisteen etäisyys kartion pohjasta on 1/4 kartion korkeudesta joten pisin ranka, joka ei keikahda on pituudeltaan 4m+ 30 cm =4,3 m. Menikö oikein :?:


No ei sinne päinkään. Kyseessä ei suinkaan ole kartio, vaan katkaistu kartio, lähes lieriö. Kyllä ratkaisussa ihan integroimaan joutuu. Vastauksestasi päätellen huomasit kuitenkin sen pienen kompan, mikä tehtävässä oli. :D

Koska rangoillasi on tyvi, niin niillä on myös latva. Niitä siis ei ole pätkitty, joten niitä voidaan pitää kartioina, joiden pituus on 15 m. Kun rankaa aletaan pätkiä tyvestä alkaen, sitä joudutaan alussa tukemaan, ettei se kellahda. Kun ranka on tarpeeksi lyhyt, se ei kellahda. Tulkitsin tehtävän näin.

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

ppo kirjoitti:Koska rangoillasi on tyvi, niin niillä on myös latva. Niitä siis ei ole pätkitty, joten niitä voidaan pitää kartioina, joiden pituus on 15 m. Kun rankaa aletaan pätkiä tyvestä alkaen, sitä joudutaan alussa tukemaan, ettei se kellahda. Kun ranka on tarpeeksi lyhyt, se ei kellahda. Tulkitsin tehtävän näin.


Ehkä ilmaisin itseni huonosti. Tehtävänasettelussa oli tarkoitus tavoitella tilannetta, jossa ranka ei keikkaa missään vaiheessa eli, minkä mittaiseksi se pitää muualla sahata ennen sirkkelille panoa. Esim. 15 m ranka on jo aika hankala hallita klapisirkkelillä.

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Harry kirjoitti:Vaikkei integraalit enää ole hallinnassa tämä on silti mielenkiintoinen ongelma. Voisit vähän tarkentaa vielä. Onko sirkkelipenkki "kiikkulautasi" ja saako ranka pudota sahauksen jälkeen? Arvioin että metrin pöydällä, ranka sahattuna saa olla korkeintaan 207,9sm pitkä. Eri juttu jos lasketaan ennen sahausta.


Tarkoitus oli kysyä maksimipituutta, mikä sirkkelipenkille voidaan laittaa. Kysyit juuri sitä, mitä kutsuin kompaksi. Jos penkille laitetaan kiikun kaakun siinä pysyvä ranka, ensimmäisen klapin pudotessa keikkaa ranka. Tuohon siis pitää lisätä se 30 cm. Itse sain laskuissani hieman suuremman luvun.

Tapsa
Valvoja
Viestit: 2944
Liittynyt: 19.02.2008, 16:35:15

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tapsa »

Ratkaisu tietenkin lähtee siitä, että sirkkelipenkin päässä vääntömomenttien tulee kumota toisensa. Differentiaalinen pätkä rankaa aiheuttaa momentin dM(x)=pi*g/4*d(x)^2*x*dx, missä g= puun tiheys, d(x)= halkaisija ja x = etäisyys tukipisteestä. d(x)= do-kx. k on tässä 0,01.

Tukipisteessä do on 15 cm miinus ohenema 1,3 m:n päässä eli do=0,137m. Sijoitettua d(x) saadaan:

dM(x)= pi*g/4*(do-kx)^2*x*dx Integroituna sadaan lauseke: pig/4(½do^2*x^2-2k/3*x^3+do^2/4*x^4).

Tyvipään momentti saadaan integroimalla -1:stä nollaan ja latvan momentti integroimalla nollasta x:ään. Lausekkeet merkitään yhtäsuuriksi, jolloin pi*g/4 tupistuu pois.
Tyvipään momentti tuon vakion poistamalla on 0,010323 ja latvan x^2(9,38470E-3 - 913,333E-6 *x + 25E-6 *x^2).

Siitä x:n voi ratkaista tavalla tai toisella.

Harry
Viestit: 609
Liittynyt: 02.10.2010, 18:44:02

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Harry »

Tapsa kirjoitti: Itse sain laskuissani hieman suuremman luvun.


Jos ei heittänyt paljon (paitsi se 30cm) olen ihan tyytyväinen. Phytagoras auttaa kun ei muutakaan keksi :)

Tronic
Viestit: 342
Liittynyt: 15.08.2010, 16:38:00

Re: Klapitalkoot

Viesti Kirjoittaja Tronic »

Mun laskussa olisi ilmeisesti pitänyt olla vakioarvon 1 m sijaan 1.3 m, mutta en kyllä ymmärrä tehtävän geometriaa (saat luvan piirtää kuvan). Muutetulla arvolla tulos on 2.79 m, eli 1.3 m on tuettuna ja 1.49 m roikkuu ilmassa. Onko vertailun vuoksi myös empiirisiä mittauksia?

Vastaa Viestiin